常量

真空中的电容率

\epsilon_{0} = \frac{1}{4\pi k}=8.854*10^{-12}C^{2}/(N·m^2)

公式和定理

库仑定律

\vec{F_{12}}=-\vec{F_{21}} = \frac{1}{4\pi \epsilon_{0}}\frac{q_1q_2}{r_{12}^2}\hat{r_{12}}

场强的定义式

单个电荷产生的场强公式为

\vec{E} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{r^2}\hat{r}

连续分布的电荷的电场强度可以通过许多电荷元叠加产生

\vec{E} = \int{d\vec{E}}=\frac{1}{4\pi \epsilon_{0}}\int_{V}\frac{dq}{r^2}\hat{r}

定义通过任一曲面的电通量

\Phi_e=\int\vec{E}·d\vec{S}

高斯定理

静电场中的任一闭合曲面上所通过的电通量和这一闭合曲面内包含的电荷之间存在关系

\Phi_e = \oiint\vec{E}·d\vec{S}=\frac{1}{\epsilon_0}\sum_i{q_i}

通过闭合曲面的电通量只取决于闭合曲面内包含的净电荷，而与电荷的空间分布无关

利用高斯公式计算特殊情况的电场

球对称，点电荷的电场分布
$\vec{E} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q}{r^2}\hat{r}$
轴对称，无限长均匀带电的直线或圆柱面
$\vec{E}·2\pi rl=\frac{\lambda l}{\epsilon_0}\rightarrow\vec{E}=\frac{1}{2\pi \epsilon_0}\frac{\lambda}{r}\hat{r}$
无限大平面，均匀带电的平板两侧
$2\vec{E}\vec{S}=\frac{\sigma\vec{S}}{\epsilon_0}\rightarrow\vec{E}=\frac{\sigma}{2\epsilon_0}\hat{r}$

静电场的环路定理

电场力做的功仅仅与实验电荷的起点和终点位置有关，与经过的路径无关

对于静电场的环流，积分结果都为0

\oint\vec{E}·d\vec{l}=0

高斯定理表明电厂的闭合面积分不为零，是有源场，环路定理表明电厂的闭合线积分为零，是有势场

电势

电势从能量角度来描述电场，电场力做正功电势能减小。由于势能的定义是相对的，对于有限分布的场源电荷可取无限远处的电势为零，某一点的电势就等于在该点的试验电荷移到无穷远处做的功除以该试验电荷的电量。

W_p=A_{p\rightarrow\infty}=q_0\int_{p}^{\infty}\vec{E}·d\vec{l}

对于点电荷而言，我们可以得到离场源电荷 $q$ 的距离为 $r_p$ 的 $p$ 点处电荷为 $q_0$ 的实验电荷的电势能为

W_p=\frac{q_0q}{4\pi\epsilon_0r_p}

电势的定义式

一点的电势的梯度等于该点的场强

等于电场沿着电场方向直到电势为0处的积分，不一定必须是无穷远处，只要到电势为0的地方就可以了

U_p=\frac{W_p}{q_0}=\int_{p}^{\infty}\vec{E}·d\vec{l}

电势叠加原理

电势标量可加

导体的静电平衡

静电平衡的导体内部任意一点的电场强度都等于零，导体是一个等势体，导体表面是一个等势面，导体表面的场强垂直于导体表面

空腔导体在外电场中，内表面无电荷存在，导体内部及空腔内的场强等于零

腔内电荷可激发导体内外表面电荷，但腔内电荷的位置不能改变导体外面的电荷分布，导体外表面接地时，腔内电荷不会对导体外的物体产生影响

静电屏蔽

利用接地的空腔导体将腔内带电体与外界隔绝的现象，外电场不会影响空腔导体内部，内电场不会影响空腔导体外部。

电容

孤立导体的电势和所带的点亮呈线性相关关系，其壁纸称为孤立导体的电容

电容器

电容器是两个导体组成的系统，用来储存电荷和电能，定义为

C=\frac{Q}{U_A-U_B}

$Q$ 为任一导体所带电量的绝对值，分母为两导体的电势差

典型的电容器的电容

平行板电容器

两极板间距为 $d$ ,面积为 $S$ ,带电量的绝对值为 $q$ ,忽略边缘效应
$E=\frac{\sigma}{\epsilon_0}\\ U_A-U_B=Ed=\frac{\sigma}{\epsilon_0}d=\frac{qd}{\epsilon_0S}\\ C = \frac{q}{U_A-U_B} =\frac{\epsilon_0 S}{d}$
可见电容大小仅与材料结合结构决定
圆柱型电容

圆柱形电容两极板间的场强分布不是线性的，计算电势差的时候要对场强进行积分

两同轴金属圆柱面，内外柱面半径分别为 $R_A$ , $R_B$ ,内外柱面线电荷密度为 $+\lambda$ 和 $-\lambda$ ,长度远大于两极板的间距，忽略边缘效应，由高斯定理计算场强分布后可以得到
$U=\int_{R_A}^{R_B}\vec{E}·d\vec{l}=\int_{R_A}^{R_B}\frac{\lambda}{2\pi \epsilon_0 r}dr=\frac{\lambda}{2\pi \epsilon_0}\ln{\frac{R_B}{R_A}}$ $C=\frac{Q}{U_A-U_B}=\frac{\lambda l}{U_A-U_B}=\frac{2\pi\epsilon_0l}{\ln{\frac{R_B}{R_A}}}$
球形电容器

同心金属球壳作为电容器的两个极板，内外半径分别为 $R_A$ , $R_B$ ，电荷分别为 $+q$ , $-q$
$U_A-U_B=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}(\frac{1}{R_A}-\frac{1}{R_B})\\ C=\frac{q}{U_A-U_B}=4\pi\epsilon_0\frac{R_BR_A}{(R_B-R_A)}$

电容器的串并联

串联电容减小，耐压增加

\frac{1}{C}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}+……+\frac{1}{C_n}

并联电容增加，耐压减小为所有电容器的最低耐压值

C=C_1+C_2+……+C_n

静电场中的电介质

电介质是电的非导体，是绝缘介质，在外电场中对电场有影响，静电平衡时内部场强不为零

电介质对电场的影响

插入电介质后，电势差发生了改变，这一变化的比例常数写作 $\epsilon_r$ ，称为电介质的相对介电常数，真空中的 $\epsilon_r = 1$ ,插入电解质后电荷不变，电容变为原来的 $\epsilon_r$ 倍，电压也对应的减小。

电介质的极化

电介质在外电场中，与外电场垂直的表面里出现正负电荷层，这些电荷不能自由移动，称为极化电荷，这种现象称为电介质的极化。

电极化强度矢量和极化电荷面密度

单位体积内分子电偶极矩的矢量和称为电极化强度矢量

\vec{P}=\frac{\sum\vec{p}}{\Delta V}

对于大多数各向同性电介质（一般情况）满足( $E$ 是和场强)

\vec{P}=\chi_e\epsilon_0\vec{E}

电介质极化时的极化电荷面密度等于极化强度眼外发现方向的分量值

\sigma^、=|\vec{P}|\cos{\theta}=\vec{P}·\vec{e}

电介质中的静电场的基本定理

电介质中的场强是由外电场和介质内的自由电荷激发的电场的和

E=E_0+E^、

对于无限大的平行板内充满的电介质的和场强与外部场强满足以下关系

E=\frac{E_0}{1+\chi_e}

\epsilon_r=1+\chi_e

\epsilon=\epsilon_r\epsilon_0=(1+\chi_e)\epsilon_0

其中新定义的 $\epsilon$ 称为介电常数或电容率

有电介质时的高斯定理

定义电位移矢量 $D$

\vec{D}=\epsilon_0\vec{E}+\vec{P}

极化电荷激发的也是静电场，因此高斯定理依然成立

有电介质时的高斯定理为：通过电介质中任一闭合曲面的电位移通量等于该面所包围的自由电荷量的代数和

\oiint_{S}\vec{D}·d\vec{S}=q_0

电位移线

电位移线上每一点的切线方向和该点的电位移矢量方向相同，垂直于电位移线的单位面积上通过的电位移线数等于该点的电位移矢量的值

\vec{D}=\epsilon\vec{E}

静电场的能量

静电场能量的携带者是电场而不是电荷

$n$ 个点电荷间的相互作用能为

W=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^n{q_iU_i}

连续分布的静电能为积分，以电荷体为例

W=\frac{1}{2}\iiint U\rho dV

电容器所带的静电能

W=\frac{1}{2}\frac{Q^2}{C}=\frac{1}{2}C(U_A-U_B)^2=\frac{1}{2}Q(U_A-U_B)

电场能量密度

w_e=\frac{W}{V}=\frac{1}{2}\epsilon E^2=\frac{1}{2}\frac{D^2}{\epsilon}=\frac{1}{2}ED

上式对于任意的变化静电场都适用，对于任意一个带电体，可以由电场能量密度计算它的总静电能

W=\iiint_Vw_edV=\iiint_V\frac{1}{2}\vec{E}·\vec{D}dV

通过电场能量密度对总静电能积分和对电荷体进行积分求得的总静电能结果是一样的

电流和磁场

稳恒电流导体中个点电流密度矢量不随时间变化

电流强度指的是单位时间通过导体内任一截面的电量

I=\frac{dq}{dt}

在导体内部某点取一个与该点电流方向垂直的面元 $dS$ ,设通过该面元的电流强度为 $dI$ ,则定义电流密度的大小为

j=\frac{dI}{dS}

通过导体任意截面S的电流强度为

I=\int_SjdS\cos{\theta}=\int\vec{j}·d\vec{S}

电流密度 $j$ 形成的矢量场称为电流场，可引进电流线来描述电流场的分布

漂移运动：电子在电场作用下，除了作无规则热运动外，还将定向运动，这种定向运动的平均速度称为漂移速度 $v_d$

由漂移速度可以定义电流强度的另一个表达式，设自由电子书密度为 $n$ , $\Delta t$ 时间内流出 $\Delta S$

I=\frac{\Delta q}{\Delta t}=env_d\Delta S

电流密度等于

j=\frac{I}{\Delta S}=env_d

15.2电动势

电动势 $\epsilon$ 是指在电源内部，将单位正电荷从负电极移动到正点击时非静电力所做的功

设想非静电力是由非静电性的外场 $E_K$ 所引起的，那么电动势可以表示为

\epsilon = \int_-^+\vec{E}·d\vec{l}

若 $E_K$ 分布于整个回路，那么：

\epsilon = \oint\vec{E}·d\vec{l}

电源的路端电压

指的是电源两极的电势差，经过计算推导可得(r为电源的内阻):

U_+-U_-=\epsilon - Ir

磁力

磁场是由运动电荷产生的
与电场不同，磁场对静止的电荷没有作用，仅当电荷运动时（比如电流）才会有相互作用产生
因此磁场的存在可以用运动电荷在磁场中的受力情况表现出来

磁感应强度

定义如下，方向由 $\vec{F}\times\vec{v}$ 定

B = \frac{F}{qv}

15.6毕奥-萨伐尔定律

电流元 $Id\vec{l}$ 在空间 $P$ 点激发的磁感应强度公式为

d\vec{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{Id\vec{l}\times\hat{r}}{r^2}

\frac{\mu_0}{4\pi}=10^{-7}T·m/A

对于电子以速度 $v$ 进行运动时，在和运动方向相垂直，距离为 $r$ 的地方产生的磁场为

B=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{q\vec{v}\times \hat{r}}{r^2}

对任意载流导线所激发的总磁感应强度为(对电流元产生的磁s场进行积分)：

\vec{B}=\int_Ld\vec{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_L\frac{Id\vec{l}\times\hat{r}}{r^2}

对于载流长直导线的磁场,距离导线为 $a$ 的点,在两个夹角间这段导线产生的磁场为

B=\frac{\mu_0I}{4\pi a}(\cos{\theta_1}-\cos{\theta_2})\\ B=\frac{\mu_0I}{2\pi a},L>>a,\theta_1=0,\theta_2=\pi

对于载流圆线圈，平行于线圈的磁场分量全部抵消，垂直于磁场的分量互相增强，距离线圈中心为 $x$ 的点的磁场强度为

B=\frac{\mu_0IR^2}{2(R^2+x^2)^{\frac{3}{2}}}

在圆心处，B(0)=\frac{\mu_0I}{2R} \\在轴线上远离圆线圈，B=\frac{\mu_0IR^2}{2x^3}=\frac{\mu IS}{2\pi x^3}

磁矩

引入磁矩 $p_m$ 来描述载流线圈的磁性质

\vec{p_m}=NIS\vec{n}

$n$ 的方向和电流环绕的方向呈右手螺旋关系。引入磁矩后，上面载流圆线圈无限远处的磁场可以改写为

\vec{B}=\frac{\mu_0\vec{p_m}}{2\pi x^3}

载流直螺线管内部的磁场，经过计算推导可得

dB=\frac{\mu_0 IR^2ndl}{2(R^2+l^2)^{2/3}} \\B=-\frac{\mu_0}{2}\vec{n}I\int_{\beta_1}^{\beta_2}\sin{\beta}d\beta=\frac{\mu_0}{2}nI(\cos{\beta_2-\cos{\beta_1}})\\ 当L>>R时，B=\mu_0nI\\ 当位于螺线圈的端点时，B=\frac{1}{2}\mu_0nI

15.7磁场的高斯定律和安培环路定律

磁通量

d\Phi=\vec{B}·d\vec{S}

磁场里的高斯定理反映了磁场是无源场

\oiint\vec{B}·d\vec{S}=0

安培环路定理

在磁场中，沿着任何闭合曲线， $\vec{B}$ 的先积分等于真空中的磁导率 $\mu_0$ 乘以穿过这个闭合曲线为边界所张任意曲面的各恒定电流的代数和

\int_L\vec{B}d\vec{l}=\mu_0\sum_S{I}

由安培环路定理进行计算

载流螺绕环内的磁场

\oint_L \vec{B}·dl=B\oint_Ldl=B2\pi r\\ 计算得到一点P(距离轴心为r)的磁感应强度为：\\ B=\frac{\mu_0NI}{2\pi r}\\ 当r_2-r_1的距离远小于平均半径时：\\ B=\frac{\mu_0NI}{l}=\mu_0nI

载流长直螺线管内的磁场

B=\mu_0 nI

物质中的磁场

介质在磁场中被磁化，戒指内的磁感应强度为外磁场和自己激发的磁场的强度之和，分为顺磁性，抗磁性和铁磁性

磁化强度

介质磁化后单位体积内分子磁矩的矢量和，真空中 $M=0$ ,介质内各点的磁化强度可以不同，如果各点磁化强度相同，那么称为均匀磁化

M=\sum\frac{p_m}{\Delta V}

磁化强度和磁化电流的关系

磁化强度沿任意闭合回路的积分，等于通过该回路所包围的磁化电流强度的代数和

\oint_L\vec{M}·d\vec{l}=\sum_{L内}I_m

磁场强度

\int_L\vec{B}·d\vec{l}=\mu_0(\sum I_0+\sum I_m) \\ \oint_L \vec{B}·d\vec{l}=\mu_0 (\sum I_0+\oint_L \vec{M}·d\vec{l}) \\ \oint(\frac{\vec{B}}{\mu_0}-\vec{M})·d\vec{l}=\sum I_0) \\ 由此得到磁场强度，\vec{H} = \frac{\vec{B}}{\mu_0}-\vec{M}

磁介质中的安培环路定理

\oint_L\vec{H}·d\vec{l}=\sum I_0

磁场强度沿任意闭合路径的环流，等于穿过该路径所包围的传导电流的代数和

$B$ , $M$ , $H$ 三者的关系

由磁场强度的定义式

\vec{B} = \mu_0\vec{H}+\mu_0\vec{M}

对于各向同性的磁介质，M和H成正比

\vec{M}=\chi_m\vec{H}

$\chi_m$ 称为磁化率，大于零为顺磁，小于零为逆磁，对于铁磁质 $\chi_m$ 很大，而且不是恒量

$\mu_r$ 为相对磁导率

\mu_r=1+\chi_m

由此可以得到

\vec{B}=\mu_0\mu_r\vec{H}=\mu\vec{H}

$\mu$ 为磁导率

电磁感应

楞次定律

闭合回路中产生感应电流的方向总是使它所激发的磁场去阻止原磁通量的变化

法拉第电磁感应定律(楞次定律的数学形式)

\epsilon_i=-\frac{d\Phi}{dt}=-\frac{d}{dt}\int_S\vec{B}·d\vec{S}

对于 $N$ 匝线圈，总感应电动势等于各匝线圈的磁通量之和，记为 $\Psi$

如果每一匝线圈的磁通量都相等，那么

\epsilon_i=-N\frac{d\Phi}{dt}=-\frac{d(N\Phi)}{dt}=\frac{d\Psi}{dt}

感应电流为

I_i=\frac{\epsilon_i}{R}=-\frac{N}{R}\frac {d\Phi}{dt}

感应电荷为

q=\int_{t_1}^{t_2}I_idt=-\frac{N}{R}\int_{\Phi_1}^{\Phi_2}d\Phi=\frac{N}{R}(\Phi_1-\Phi_2)

涡旋电场

Maxwell假设：不论空间有无导体存在，变化的磁场总是在其周围激发一种电场，这种电场具有涡旋性，称为感生电场或涡旋电场。在这个假设下，法拉第电磁感应定律可表示为

\epsilon_i=\oint\vec{E_i}·d\vec{l}=-\frac{d\Phi}{dt}=-\frac{d}{dt}\iint\vec{B}·d\vec{S}=-\iint_S\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}·d\vec{S}

性质

涡旋电场可以在任何有变化磁场的空间存在，而不依赖于是否有导体存在
当有导体存在时，显示出感应电流

自感与互感

自感现象

由于回路电流产生的磁通量发生变化而在自身回路激起感应电动势的现象

以螺线管为对象讨论自感问题：

B=\frac{\mu_0NI}{l}\\ \Phi=BS=\frac{\mu_0NI}{l}\pi R^2\\ \Psi=N\Phi=\frac{\mu_0N^2I}{l}\pi R^2\\ 当I发生变化，线圈出现的电动势： \epsilon_L=-\frac{d\Psi}{dt}=-\frac{\mu_0\pi N^2R^2}{l}\frac{dI}{dt}\\ 可改写为：\epsilon_L=-\frac{d\Psi}{dt}=-L\frac{dI}{dt}

$\epsilon_L$ 的正负号代表了感生电动势和 $I$ 的方向是否相同（正数为相同，负数为相反）

由此得到自感系数 $L$

L=\frac{\mu_0\pi N^2R^2}{l}

一般情况下，全磁通的变化时由回路电流变化引起的，从而在一般情况下， $L$ 的定义为

L=\frac{d\Psi}{dt}

在回路形状不变，周围没有铁磁质，空间任一点 $B$ 与电流 $I$ 成正比，因而 $\Psi$ 也与 $I$ 成正比，此时上式可写为

L=\frac{\Psi}{I}

自感系数的定义为

回路中电流变化为单位值时，在贿赂本身所围面积内引起的全磁通的改变值

麦克斯韦方程与电磁波

位移电流

在平行板电容器充电的过程中，以闭合曲面包裹平行板的一个极板，另一端包裹电流流入的导线

分别对两端的曲面进行积分后发现环路定理不再适用，原因是，传导电流不再连续，在电容器充放电时，电流在极板上被截断，但极板上的电荷量和面密度在随着时间变化，期间的电位移矢量和电位移通量也在随着时间变化，在充放电时：

I=\frac{dq}{dt}=S\frac{d\sigma}{dt}

设极板上电荷密度为 $\sigma$ ,此时 $D=\sigma$

I=S\frac{d\sigma}{dt}=S\frac{dD}{dt}

$\frac{dD}{dt}$ 在充电时和电场方向一致，放电时和电场方向相反，但无论充放电都与电流方向一致，于是Maxwell提出：变化的电场也可以看作是一种电流：位移电流

电场中某点的位移电流密度等于该点的电位移矢量的时间变化率，通过电场中某截面的位移电流等于通过该截面的电位移通量对时间的变化率

电位移通量的一般表达

\phi_d=\int_S\vec{D}·d\vec{S}

若曲面 $S$ 不随时间变化，位移电流可表达为

I_d=\frac{d}{dt}\int_S\vec{D}·d\vec{S}=\int_S\frac{\partial\vec{D}}{\partial t}d{\vec{S}}

全电流

在充电电路中，可引入全电流的概念

I_{全}=\sum I+I_d

全电流在任何情况下总是连续的

非稳恒情况下的安培环路定理称为全电流环路定理

\oint_L\vec{H}d\vec{l}=\sum I+\frac{d\phi_D}{dt}=\sum I+\int_S\frac{\partial \vec{D}}{\partial t}d\vec{S}

位移电流的性质

位移电流说明变化的电场也能激发涡旋磁场
电位移的变化一起的位移电流可以在导体，介质，真空中存在，在导体中通常以传导电流为主
传导电流和位移电流在激发磁场方面是相同的，但是形成的机理是不同的

位移电流密度

j_D=\frac{\partial D}{\partial t}=\epsilon_0\frac{\partial E}{\partial t}+\frac{\partial P}{\partial t}=\epsilon\frac{\partial E}{\partial t}

电磁场

Maxwell电磁场理论主要内容：

除静止电荷激发无旋电场外，变化的磁场将激发涡旋电场
变化的电场和传导电流一样将激发涡旋电场

Maxwell方程组

积分形式：

电场的性质
$\oiint_S\vec{D}·d\vec{S}=\iiint_V\rho dV$
在任何电场中，通过任何封闭曲面的电位移通量等于闭合曲面内自由电荷的总量
磁场的性质
$\oiint_S\vec{B}·d\vec{S}=0$
任何磁场中，通过封闭曲面的磁通量为0
变化的电场和磁场的联系
$\oint_L\vec{H}·d\vec{l}=I+I_d=\iint_S\vec{j}·d\vec{S}+\iint_S\frac{\partial \vec{D}}{\partial t}·d\vec{S}$
任何磁场中，磁场强度沿任意闭合曲线的积分等于通过以此闭合曲线为边界的任意曲面的全电流
变化的磁场和电场的联系
$\oint_L\vec{E}·\vec{l}=-\frac{d\phi_m}{dt}=-\iint_S\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}·d\vec{S}$
任何电场中，电场强度沿任意闭合曲线的积分等于通过此曲线所包围面积的磁通量的时间变化率的负值

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