光的干涉

光的本性和光的相干性

光源

单一波长的光叫做单色光，这是一种理想模型，实际光波按波长都有一定的分布。可见光波长为$400nm\sim 760nm$

相干光波

光的干涉现象是指光波的电矢量$E$，在空间相遇区域内，有些店的振动始终加强，而另一些点的振动始终减弱，形成振动有强有弱的稳定分布，对于可见光波，干涉的现象表现为叠加区域中有些点较亮，而另一些点较暗，出现一系列有规律的明暗条纹，称为干涉条纹。

相干条件

频率相同，振幅相当，振动方向相同，有固定的相位差。

设符合条件的两光矢量$E_1,E_2$

$$\begin{aligned} E_1=E_{10}\cos{(\omega t+\phi_{10})}\\ E_2=E_{20}\cos{(\omega t+\phi_{20})} \end{aligned}$$

双缝干涉

$S_1,S_2$是同一波阵面上的两个子波，初相位相同，到达$P$点的相位差$\Delta\phi$为

$$\Delta\phi=(\phi_1-\phi_2)-\frac{2\pi}{\lambda}(r_1-r_2)=\frac{2\pi}{\lambda}(r_2-r_1)$$

当双缝与光屏距离远大于双缝间距的时候

$$\begin{aligned} r_2-r_1\sim d\sin{\theta} \text{，}d\text{是双缝间距，}\theta\text{是双缝中点和}P\text{点连线与水平线的夹角}\\ \Delta\phi=\frac{2\pi}{\lambda}(r_2-r_1)=\frac{2\pi}{\lambda}d\sin\theta\\ \Delta\phi=\pm 2k\pi\text{时满足相长干涉}\\ \Delta\phi=\pm(2k-1)\pi\text{时满足相消干涉}\\ \text{用}x\text{表示}P\text{点到屏中心的距离，则有}D>>x\text{时，}\\ \sin\theta\sim\tan\theta=\frac{x}{D}\\ x=\pm k\frac{D}{d}\lambda\text{为亮纹}\\ x=\pm (2k-1)\frac{D}{2d}\lambda\text{为暗纹}\\ \Delta x=\frac{D}{d}\lambda\text{为条纹间距} \end{aligned}$$

薄膜干涉

光程

同频率光波在不同媒介中，波速和波长都不一样，有折射率为

$$n=\frac{c}{u}>1,c\text{为真空波速，}u\text{为媒介中的波速}$$

设光在真空中的波长为$\lambda$，媒介中波长为$\lambda_n$，则

$$\lambda_n=uT=\frac{cT}{n}=\frac{\lambda}{n}$$

当光在介质中所经过的路程为$x$时，相位变化为

$$\Delta\phi=2\pi\frac{x}{\lambda_n}=\frac{2\pi}{\lambda}nx$$

称

$$\sigma=nx$$

为光程，引入光程后

$$\Delta\phi =\frac{2\pi}{\lambda}\sigma$$

若两束相干光初相位相同，经过不同的介质后，在空间相遇时的相位差为

$$\Delta\phi=\frac{2\pi}{\lambda}n_2r_2-\frac{2\pi}{\lambda}n_1r_1$$

所以相位差就取决于光程差 $n_2r_2-n_1r_1$

等倾干涉

通过分振幅法，单色光源照射到平行平面薄膜，在一点处产生反射和折射，形成两道光束，这两道光束的光程差为

$$\begin{aligned} \sigma=n_2(AC-CB)-n_1AD+\sigma^{'}\\ \sigma^{'}=|\sigma_C^{'}-\sigma_A^{'}| \end{aligned}$$

半波损失$\sigma^{'}$界面反射导致的相位跳变

设光从折射率为$n_a$的介质进入折射率为 $n_b$的介质

$$\begin{aligned} \sigma^{'}=\frac{\lambda}{2},n_a<n_b\\ \sigma^{'}=0,n_a>n_b \end{aligned}$$

等倾干涉的干涉图样是一组明暗相间的同心圆环

光垂直照射薄膜的情况

入射光束由第一表面反射成光线a，光疏介质到光密介质有半波损失，光线b由第二表面单设再透出，光密到光疏反射时无半波损失，光程差为

$$\begin{aligned} \sigma=2n_2e+\frac{\lambda}{2}\\ \sigma=k\lambda,\text{相长干涉}\\ \sigma = (2k+1)\frac{\lambda}{2}.\text{相消干涉} \end{aligned}$$

等厚干涉

由于干涉薄膜上下表面不平行，造成反射光线$a_1,a_2$不平行，它们在薄膜上表面附近干涉

实例

• 劈尖干涉

  $$\begin{aligned} \text{明纹：}\sigma_\text{明}=2e+\frac{\lambda}{2}=k\lambda\\ \text{暗纹：}\sigma_\text{暗}=2e+\frac{\lambda}{2}=(2k+1)\frac{\lambda}{2} \end{aligned}$$

  $e=0$时，$\sigma=\frac{\lambda}{2}$，为0级暗纹

  条纹间距

  $$\begin{aligned} l\sin{\theta}=e_{k+1}-e_k=\frac{\lambda}{2}\\ l=\frac{\lambda}{2\sin\theta} \end{aligned}$$

• 牛顿环

  将一曲率半径很大的球冠置于一平板玻璃上，构成牛顿环

  $$\begin{aligned} \text{明纹：}\sigma_\text{明}=2e+\frac{\lambda}{2}=k\lambda\\ \text{暗纹：}\sigma_\text{暗}=2e+\frac{\lambda}{2}=(2k+1)\frac{\lambda}{2}\\ e=\frac{r^2}{2R},r\text{是条纹和球冠轴线的距离，}R\text{是球体半径} \end{aligned}$$

  明暗条纹的半径

  $$\begin{aligned} r_{k,\text{明}}=\sqrt\frac{(2k-1)R\lambda}{2}\\ r_{k,\text{暗}}=\sqrt{kR\lambda} \end{aligned}$$

  球体半径和光的波长

  $$\begin{aligned} R=\frac{1}{m\lambda}(r_{k+m,\text{暗}}^2-r_{k,\text{暗}}^2)\\ \lambda=\frac{1}{mR}(r_{k+m,\text{暗}}^2-r_{k,\text{暗}}^2) \end{aligned}$$

光的衍射

衍射是波在传播过程中，绕过障碍物边缘，偏离直线传播的现象。当光遇到的障碍物尺寸与光的波长相当时，缠上光的衍射现象

衍射的分类

• 菲涅尔衍射

  衍射屏离光源和接受屏为有限距离的衍射(点光源进行衍射)

• 夫琅禾费衍射

  衍射屏离光源和接受屏无限远的衍射，相当于入射光和衍射光都为平行光，实验上可以用两个透镜来实现(平行光源进行衍射)

惠更斯原理

媒介中波到达的个点都可以看作一个新的子波源，这些子波源向空间发射球面子波，在以后的任意时刻，这些子波的包络面就是新的波阵面

波的衍射

惠更斯-菲涅尔原理

波在传播过程中，从同一波阵面S上发出的子波，经传播而在空间某点相遇时，可相互叠加而产生干涉现象

• 夫琅禾费单缝衍射

  菲涅尔半波带法

  单缝边缘量光线的程差：

  $$\sigma =BC=a\sin{\theta}$$

  做一系列垂直于AB面的平面，将单缝面分割成N个同宽度的窄带，若两窄带的边缘光线的光程差为半个波长，称此窄带为半波带

  单缝衍射产生明暗条件的位置

  暗纹

  $$a\sin{\theta}= \pm 2k\frac{\lambda}{2}=\pm k\lambda$$

  明纹

  $$a\sin{\theta}=\pm (2k+1)\frac{\lambda}{2}$$

  单缝衍射图样的特征

  • 条纹亮度分布

    中央明纹的光强最大，随着k增加，波带数增多，违背低效的波带面积变小，条纹光强减弱

  • 中央明纹的半宽度$\Delta{\theta}$

    第一级暗纹的衍射角

    $$\Delta{\theta}=\theta_1=\arcsin{\frac{\lambda}{a}}\approx\frac{\lambda}{a}$$

  • 色散效应

    $\lambda$一定，$a\downarrow,\theta\uparrow$;$a$不变，$\lambda\uparrow,\theta\uparrow$

• 圆孔夫琅禾费衍射

  第一级暗纹的衍射角为(最小分辨角)

  $$\sin{\theta_0}\approx \theta_0=1.22\frac{\lambda}{D}$$

  一级暗纹包围的中央亮斑称为爱里斑，爱里斑的叫半径即为$\theta_0$，半径为

  $$R=f\tan\theta_0\approx f\theta_0\approx 1.22f\frac{\lambda}{D}$$

  光学仪器的最小分辨角

  瑞利判据：

  当一个点的衍射图样的中央主极大恰好与另一个点的第一级极小重合时，这两点就处于恰能分辨的位置。

  最小分辨角就是爱里斑角半径

  分辨本领为

  $$\text{分辨本领}=\frac{1}{\text{最小分辨角}}$$

衍射光栅

光栅衍射现象

大量等宽度等间距的平行狭缝构成的光学器件叫做光栅，光栅有透射和反射两类。

透射光栅的缝宽度为$a$，不透光部分宽度为$b$，$d=a+b$称为光栅常数，光栅狭缝数越多，衍射条纹就越细锐，明亮

光栅衍射图像

光栅衍射图像是多个狭缝单缝衍射图像相互干涉形成的图像

• 主极大（明纹）

  相邻两缝发出的光束间的相位差为$2\pi$的整数倍时，产生明纹

  $$d\sin\theta=k\lambda$$

  上式称为光栅方程，由于$\theta$不可能大于$\frac{\pi}{2}$，因而明纹的最大级数$k<\frac{d}{\lambda}$

• 暗条纹

  明纹之间有暗纹分布，各狭缝在屏幕P点产生的振幅矢量彼此相位不同

  对于6个狭缝的情况，出现暗纹时，相邻光振动的相位差满足

  $$\Delta \phi=\frac{2\pi}{\lambda}d\sin\theta=k^{'}\frac{\pi}{3},k^{'}=\pm 1,\pm2,\pm3,\pm4,\pm5$$

  或

  $$d\sin\theta=k^{'}\frac{\lambda}{6},k^{'}=\pm 1,\pm2,\pm3,\pm4,\pm5$$

  上述相位叠加$2\pi$就得到对应地一二级明纹之间的暗纹：

  $$d\sin\theta=k^{'}\frac{\lambda}{6},k^{'}=\pm7,\pm8,\pm9,\pm10,\pm11$$

  $k^{'}$不能等于$6$和$12$，因为这两个数字满足亮纹条件，相邻亮纹间的暗纹有5条

  $N$个狭缝的暗纹方程

  $$\begin{aligned} d\sin\theta=k^{'}\frac{\lambda}{N}\text{，}k^{'}=\pm1,\pm2,...,\pm(N-1);\\ \pm(N+1),\pm(N+2),...,\pm(2N-1); \end{aligned} ...$$

  两相邻主极大之间有$N-1$条暗纹

• 次极大

  两暗纹之间存在一条次明纹，此明纹强度为主极大明纹的4%,$N-1$条暗纹之间有$N-2$条次明纹

• 单缝衍射的影响

  光栅衍射图像时多个单缝衍射图象相互干涉形成的，如果单缝衍射暗纹出现的位置正好是光栅方程主极大的位置，就会发生主极大缺级

  单缝衍射暗纹

  $$a\sin\theta=k_1\lambda,k_1=1,2,3,...$$

  光栅主极大

  $$d\sin\theta=k_2\lambda,k_2=0,1,2,...$$

  缺级方程

  $$k_2=\frac{d}{a}k_1,k_1=1,2,3,...$$

光栅光谱

光栅方程

$$d\sin\theta=k\lambda,k=0,\pm1,\pm2,...$$

$d$不变，$\lambda\uparrow,\theta\uparrow$,除中央零级明纹外，不同波长的同一级主极大位置均不重合

光栅的分辨本领

光栅的分辨本领衡量把靠很近的两条谱线分辨清楚的能力，其定义为卡能分辨的两条谱线的平均波长$\lambda$与两谱线波长差$\Delta \lambda$之比：

$$R=\frac{\lambda}{\Delta\lambda}$$

瑞利判据

恰好能分辨$\lambda$与$\lambda+\Delta\lambda$的要求是$\lambda+\Delta\lambda$的第$k$级明纹与$\lambda$的第$kN+1$级暗纹重合

可得到

$$R=\frac{\lambda}{\Delta\lambda}=kN$$

光栅的分辨本领与光栅的总缝数$N$及衍射级数$k$成正比，与光栅常数$d$无关

光的偏振

偏振光和自然光

线偏振光

电磁波中$E$矢量始终沿某一方向振动

自然光，部分偏振光

振动面在空间各个方向告诉随机变化的光称为自然光，在$x$和$y$方向的平均振幅相同。

介于自然光和线偏振光之间的一种偏振光叫做部分偏振光。

起偏和检偏 马吕斯定律

起偏和检偏

当机械横波通过一狭缝时，如果狭缝方向与机械横波的振动方向相同时，此横波可通过狭缝，若方向垂直，此横波就不可通过狭缝。

与机械波相仿，对于光波我么们也可以找到类似的狭缝，使得自然光通过后变为线偏振光，此狭缝称为起偏器

非偏振光通过起偏器后，光强会减少为原来的一般

$$I_1=\frac{I_0}{2}$$

马吕斯定律

设起偏器和检偏器的偏振化方向成$\alpha$角，入射到检偏器的光强为 $I_1$，投射光光强为$I_2$，则：

$$\text{由于}A_2=A_1\cos\alpha\text{，所以}I_2=I_1\cos^2\alpha$$

光反射折射时的偏振现象

反射和折射产生的部分偏振光

自然光在两种介质 $n_1,n_2$的交界面上发生反射和折射时，反射光折射光都将成为部分偏振光。反射光中垂直入射面的光矢量相对加强，折射光中平行入射面的光矢量相对加强。

布儒斯特定律

布儒斯特定律

$$\tan i_B=\frac{n_2}{n_1},n_2\text{为折射光线进入的介质内的折射率，}n_1\text{为光线射出的介质的折射率}$$

当光线以 $i_B$入射，且满足

$$i_B+r=90^\circ$$

此时，实验发现反射光为线偏振光，折射光为部分偏振光

光的双折射现象

一束光季尼汝方解石晶体后，分裂成为两束光线，它们沿不同方向折射，这种现象称为双折射。

寻常光，异常光

光线进入晶体后，分成两束，其中一束遵守折射定律，成为寻常光线($o$光)，另一束不遵守折射定律，成为异常光线($e$光)

晶体光轴，主平面

晶体内存在一个方向，光沿该方向传播时，不发生双折射现象，该方向为晶体光轴，与光轴平行的直线都是光轴，有一个光轴的成为单轴晶体，有两轴的称为双轴晶体。

光线与光轴组成的平面成为主平面

$o$光偏振垂直于主平面，$e$光偏振在主平面内

双折射现象的解释

寻常光线在晶体中传播速度各向相同，故波阵面为球面，异常光线在晶体中传播速度不同，垂直于光轴的速率最大或最小，波阵面为椭球面。但两束光沿光轴的传播速度相同，垂直于光轴的$v_e<v_o$为正晶体（石英），$v_e>v_o$的为负晶体（方解石）。

$e$光的主折射率

$$n_e=\frac{c}{v_e}$$

$o$光的主折射率

$$n_o=\frac{c}{v_o}$$

正晶体$n_e>n_o$,负晶体$n_e<n_o$

晶体光学器件

波晶片

波晶片是双折射晶体制成的厚度均匀的平板，光轴与平板平行，$o$光$e$光在平板内传播时，由于折射率不同，将产生光程差

镜片厚度为$d$，则光程差为：

$$\sigma=|n_o-n_e|d$$

相应的相位差为：

$$\Delta\phi=\frac{2\pi}{\lambda}\sigma=\frac{2\pi}{\lambda}|n_o-n_e|d$$

波晶片类型

• 四分之一波片：$o/e$光程差为$\frac{\lambda}{4}$

  $$d_{1/4}=\frac{\lambda/4}{|n_o-n_e|},|\Delta\phi|=\frac{\pi}{2}$$

• 二分之一波片：$o/e$光程差为$\frac{\lambda}{2}$

  $$d_{1/2}=\frac{\lambda/2}{|n_o-n_e|},|\Delta\phi|=\pi$$