求一定点到空间曲线上一定点切线的距离
核心问题：如何求一已知的空间曲线上一定点的切线
涉及到的知识是多元函数微分学中的偏导数在几何上的应用
如果空间曲线是由参数方程的形式表达
那么某一点处的切向量就是
该切向量也就是过该点，垂直于该直线的平面的法向量
我们知道对于给定的曲面方程$F$，我们可以得到该曲面方程上一点的切平面方程
当曲线给出的形式是以两个曲平面的的交线给出的，如下
那么我们就可以根据两个曲面的交线上一点的切线是两个曲面上过该点的切平面的交线这一性质得到曲线的切线
如果我们对$F,G$进行移项处理，得到$z=z(x,y)$的形式，那么切线也可以表示为
根据上述几个公式，我们可以求出一般的曲线方程在某一点的切线，接下来的问题是——如何求空间内已知直线到一点的最短距离呢，我们记切线的方向向量为$\vec{S}$,已知点到切点的向量为$\vec{OP_0}$,我们根据叉乘的知识知道，这两个向量叉乘得到的向量模长等于这两个向量所构成的平行四边形的面积，那么已知点到切线的最短距离就是这个平行四边形的高，也就是用叉乘后得到的模长除以切线向量的模长
例题；
求原点到空间曲线
上点$P_0(2,1,-2)$处切线的距离
求空间曲线在一般位置上的平面的投影
空间曲线在平面上的投影，可以看作是一个经过空间曲线的柱面与平面的交线，问题的关键是如何表示这个柱面。我们已知空间曲线和投影平面的方程，只需要求出投影柱面的方程即可的得到答案。
我们可以想到，投影柱面的准线方向和投影平面的法向量是方向相同的，我们用$\vec{n}=(x_1,y_1,z_1)$表示法向量，由于我们要表示的是投影柱面，所以我们找柱面上任意一点$P(x,y,z)$那么一定存在一点$P_0(x_0,y_0,z_0)$存在于空间曲线上，满足
那么根据平行向量对应坐标比值相等
我们可以得到$x_0,y_0,z_0$的关于$x,y,z$的表达式(注意，这里要根据空间曲线得到的$x_0,y_0,z_0$的关系，将$x_0,y_0,z_0$换成只关于$x,y,z$的等式)，再将这些表达式带入原有的曲线方程，我们就可以得到投影柱面的方程
例题
求空间曲线
在平面$x-2y+2z=10$上的投影曲线方程
梯度的计算
梯度是描述一个场内某一点处函数值增长速度最快的方向的一个向量，表示为
一个点的方向导数就等于这个点的梯度在这个方向上的投影。
方向导数的计算定义式如下
方向导数的计算式如下
遇到一个函数关于一个向量求导不要慌，实际上就是一个函数在一个点处的梯度点乘这个向量的方向向量就好了！
例题
空间区域$\Omega$以光滑曲面$\Gamma$为边界，函数$u(x,y,z),v(x,y,z)$及他们的一阶偏导数在闭区域$\Omega \cup\Gamma$上连续，在$\Omega$内有两阶连续偏导数，利用高斯公式证明
其中算子$\Delta = \frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}$,$\vec{n}$是$\Gamma$上的外法向量
方向导数是一个标量，表示的沿指定方向上的导数值，我们一般用$\rho$表示两点的距离，用$P_0$表示一定点，用$\rho \cos{\theta},\rho\sin{\theta}$来表示$x,y$
梯度运算和导数运算具有相似的性质
在了解了梯度的概念后，计算过程就是如何求偏导的过程
如何求隐函数的偏导
我们根据隐函数存在定理可以求出
多元函数的极值问题
如果多元函数在有界闭区域连续，那么该多元函数一定存在最大值和最小值，可以在边界点取到，也可以在区域内部取到，当在内部取到时，最值一定是稳定点或偏导数不存在的点。
当我们正面多元的不等式时，我们实际上可以求出多元函数的最值，然后证明该求出的最值满足不等式。一般题目给定形式的多元函数我们可以判断其是否连续和是否存在偏导数不存在的点
例子
证明不等式
多元函数微分学
一些必须知道的定理：
- 若函数$z=f(x,y)$的二阶偏导数$f’’_{xy}(x,y),f’’_{yx}(x,y)$在点$P_0(x_0,y_0)$处都连续，那么只要在同一点的混合偏导连续，那么不同顺序的混合偏导数都相等。