第一类曲面积分

第一类曲面积分解决的是对曲面上每一点进行标量积分的问题，典型的是已知曲面的密度分布，求该曲面的质量

同样的化曲为直的思想，化曲面为平面

$\iint_Sf(x,y,z)=\iint_{D_{xy}}f(x,y,z(x,y))\sqrt{1+(\frac{\partial z}{\partial x})^2+(\frac{\partial z}{\partial y})^2}dxdy$

对于映射到$yoz,xoz$平面的情=情况，只需要做轮换对称即可。

第二类曲面积分

第二类曲面积分同样解决的是矢量问题，是对曲面上每一点对应的向量函数沿曲面上每一点的法线方向上的分量的积分。

$\iint_S\vec{A}·\vec{e_n}dS=\iint_SA·d\vec{S}=\iint_S(P\cos{\alpha+Q\cos{\beta}+R\cos{\gamma}})dS$

我们将方向余弦与面积微元相乘可以简化得到

$\iint_SPdydz+Qdxdz+Rdxdy$

不过一定要注意的是，这里的dxdy这三个面积微元是具有正负的，我们要根据积分面的侧向判断正负号，如果该点的法线方向与坐标轴正向大于$\frac{\pi}{2}$,那么面积微元取符号，等于就取0，小于就取正号

高斯公式

高斯公式建立了封闭曲面与三重积分之间的关系，与格林公式建立沿封闭曲线与二重积分的关系类似

假如空间区域$V$由分片光滑的双侧封闭曲面$S$围成，如果函数$P,Q,R$在该区域内连续且具有一阶连续偏导数，那么

$\iiint_V(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})dxdydz=\oiint_S Pdydz+Qdxdz+Rdxdy$

其中$S$取外侧，取内侧时要加负号。

注意，虽然格林公式和高斯公式建立的联系相似，但是二者公式的右侧对应关系不一样，不要记错。

散度场

对于空间内的向量函数若该向量函数满足

$A(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))$

对于空间中任意一点，那么称函数

$\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}$

为向量函数在该点的散度，记作

$div\vec{A}(x,y,z)$

根据散度的定义，高斯公式可以改写为

$\iiint_Vdiv\vec{A}dV=\oiint\vec{A}d\vec{S}\\ d\vec{S}=\vec{e_n}dS$

散度的物理意义：散度衡量了在某一点流体的流入和流出大小

如果在封闭曲面内处处有$div\vec{A}=0$，那么

$\oiint_S\vec{A}d\vec{S}=0$

如果仅在区域内某些点$div\vec{A}\neq0$或$div\vec{A}$不存在，其他的点都有$div\vec{A}=0$,则通过包围这些点或子区域的$V$内任意封闭曲面积分（物理意义为流量）都是相等的

$\oiint_{S_1}\vec{A}·\vec{e_n}dS=\oiint_{S_2}\vec{A}·\vec{e_n}dS$

斯托克斯公式

斯托克斯公式建立了言空间双侧曲面$S$的积分与沿$S$的边界曲线$L$的积分之间的联系。格林公式是斯托克斯公式在二维平面的特殊情况

$\iint_S(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z})dydz-(\frac{\partial R}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial z})dxdz+(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})=\oint_LPdx+Qdy+Rdz$

空间曲线积分与路径无关性

在空间线单连通区域，满足默认条件，以下四个条件等价

对任一按段光滑的封闭曲线$L$,有
$\oint_LPdx+Qdy+Rdz=0$
对任一按段光滑的曲线，积分值只与始末点有关，与路径无关
存在函数$u(x,y,z)$满足
$u(x,y,z)=\int_LPdx+Qdy+Rdz$
$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}\\ \frac{\partial Q}{\partial z}=\frac{\partial R}{\partial y}\\ \frac{\partial R}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial z}$
处处成立

旋度场

沿用上述的向量函数和定义，我们定义点$M(x,y,z)$处的旋度为

$(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})$

记作$rotA$

斯托克斯公式可改写为如下的向量形式

$\iint_Srot\vec{A}·d\vec{S}=\oint\vec{A}ds$

其代表的物理意义是：

流体的速度场的旋度的法线投影在曲面上对面积的曲面积分等于流体在曲面边界上的环流量

本文采用署名-非商业性使用-相同方式共享 4.0 国际许可协议，转载请注明出处。