热力学基础

热力学第一定律

准静态过程

该过程所经历的一切中间状态都无限接近于平衡态。

准静态过程气体做的功

气体经历了一个准静态过程，体积由$V_1$变化为$V_2$，气体在整个过程中所做的功为

$W=\int_{V_1}^{V_2}pdV$

热力学第一定律

$Q$表示外界对系统传递的热量，$W$表示系统对外界所做的功，$E_2-E_1$表示热力学能增量，则可以得到

$Q=E_2-E_1+W$

热容量

热容，比热容，摩尔热容

热容：物质温度升高$1K$吸收的热量称为该物质的热容量，简称热容，定义式为：

$C=\frac{dQ}{dT}$

单位是焦耳每开尔文。

比热容：单位质量的热容称为该物质的比热容，用$c$表示，定义式为

$c=\frac{C}{M}=\frac{1}{M}\frac{dQ}{dT}$

摩尔热容：$1mol$物质升高$1K$所吸收的热量称为该物质的摩尔热容，用$C_m$表示，定义式为

$C_m=\frac{C}{\nu}=\frac{Mc}{\nu}=\mu c$

定体摩尔热容

体积保持不变的情况下的摩尔热容，$C_{V,m}$表示

$C_{V,m}=\frac{1}{\nu}\frac{dQ}{dT}=\frac{i}{2}R$

理想气体的定体摩尔热容只与分子的自由度有关

$i=3,C_{V,m}=12.5J/(mol·K)\\ i=5,C_{V,m}=20.8J/(mol·K)\\ i=6,C_{V,m}=24.9J/(mol·K)$

理想气体热力学能公式

$E=\frac{M}{\mu}C_{V,m}T$

可用于理想气体的任何过程

定压摩尔热容

压强恒定条件下的摩尔热容，$C_{p,m}$表示

$C_{p,m}=\frac{1}{\nu}\frac{dQ_p}{dT}=\frac{i+2}{2}R\\ dQ_p=dE+pdV=dE+\nu RdT$

迈尔(Mayer)公式

$C_{p,m}-C_{V,m}=R$

热力学第一定律在理想气体准静态过程中的应用

等体过程

系统体积保持不变的过程

等体过程气体做功为0
$Q_V=\frac{M}{\mu}C_{V,m}(T_2-T_1)=\frac{M}{\mu}\frac{i}{2}R(T_2-T_1)$

等压过程

等压过程气体做功

$W_p=p(V_2-V_1)=\frac{M}{\mu}R(T_2-T_1)$

理想气体热力学能增量为

$\Delta E_p=E_2-E_1=\frac{M}{\mu}\frac{i}{2}R(T_2-T_1)\\ =\frac{M}{\mu}C_{V,m}(T_2-T_1)$

热量为

$Q_p=\frac{M}{\mu}C_{p,m}(T_2-T_1)=\frac{M}{\mu}\frac{i+2}{2}R(T_2-T_1)$

等温过程

系统温度保持不变的过程

等温线的斜率为

$\frac{dp}{dV}=-\frac{p}{V}$

因为理想气体的热力学能是关于温度的单值函数，所以

$\Delta E_T = E_2-E_1=0$

等温过程气体做功为

$W_t=\int_{V_1}^{V_2}pdV=\int_{V_1}^{V_2}\frac{M}{\mu}RT\frac{dV}{V}\\ =\frac{M}{\mu}RT\ln{\frac{V_2}{V_1}}=\frac{M}{\mu}RT\ln{\frac{p_1}{p_2}}$

热量为

$Q_T=W_T$

绝热过程

系统与外界没有能量交换的情况下进行的过程,$\gamma$称为理想气体的比热容比

$\gamma=\frac{C_{p,m}}{C_{V,m}}=\frac{i+2}{i}$

热力学增量

$\Delta E_p =\frac{M}{\mu}C_{V,m}(T_2-T_1)$

气体所作功

$W_p = \frac{M}{\mu}C_{V,m}(T_2-T_1)=\frac{p_1V_1-p_2V_2}{\gamma-1}$

等温线和绝热线的比较

在一样的压强和体积为起点的等温线和绝热线上开始压缩，压缩相同体积后，绝热过程压强增加更大，因为压缩体积后，分子数密度增大，由$p = nkT$，等温过程压强和分子数密度线性相关，绝热过程除了分子数密度增大外还有外界对气体做功导致气体内能增加，即温度上升引起的压强增大。所以绝热线更陡。

多方过程

一般情况下气体所进行的过程既不是等温也不是绝热，而是介于两者之间的，可表示为

$pV^n=c$

其中$n$称为多方指数

$1<n<\gamma$

多方过程做的功

$A=\int_{V_1}^{V_2}pdV=\frac{p_2V_2-p_1V_1}{1-n}$

多方过程的摩尔热容

$C_n=\frac{n-\gamma}{n-1}C_V$

在多方过程中从外界吸收的热量

$Q_n=\nu C_n(T_2-T_1)$

tips:

吸收相同热量后，等压过程即内能增加也对外做功($p\Delta V$),等体过程只内能增加，不对外做功，等温过程内能不增加全部用来对外做功，绝热过程对外做功的多少只取决于其消耗自身内能多少

已知某一气体的$p,V，T$三者之中的两个条件就可以求得气体的内能，利用下面两个公式

$pV=\nu RT\\E=\nu\frac{i}{2}RT$

我们也可以用定压摩尔热容来表示内能,上下两者是等价的

$E=\nu C_VT$

循环过程

热机中被用来吸收热量并对外做工的物质叫做工质。工质往往经历着循环过程，即经历一系列变化后又回到初始的状态的整个过程，简称循环。若循环的每一个阶段都是准静态过程，那么我们可以用$p-V$图上的一条闭合曲线表示该循环，箭头表示循环进行的方向。顺时针进行的是正（热）循环，逆时针进行的是逆（冷）循环。经过一个循环，系统内能变化为0，系统吸收的净热量化为对外做的功。

热机的效率

正循环，吸热$Q_1$,对外做净功$A$,向低温热源放出热量$Q_2$,工质回到初态，内能不变

$A=Q_1-Q_2\\ \eta = \frac{A}{Q_1}$

正循环的过程简单来说就是先把水升温(吸热$Q_1$)成热蒸汽，热蒸汽做功($A$)后变成冷蒸汽,冷蒸汽又冷凝($Q_2$)为水

制冷机的效率

制冷机：利用工质的逆循环，不断从低温热源吸收热量，传递给高温热源的机器

逆循环：从低温热源吸热$Q_2$,向高温热源放热$Q_1$

工作流程大致为：

制冷气体被压缩机吸入并压缩（外界做功），压力和温度都升高。压缩后的高温高压气体随后流向冷凝器，冷凝器中制冷器气体放热到周围环境（空气或水），放热完成后，冷凝剂变为液态，紧接着通过一个节流阀，在这个过程中，冷凝剂的压力和温度急剧下降，截留后的低温低压制冷剂进入蒸发器。蒸发器中，低温低压的液态冷凝剂吸收周围环境的热量，并蒸发成气体，导致周围环境温度降低，气态制冷剂再次被压缩机吸入，循环开始新一轮。

制冷系数(吸热减去做功)

$\eta'=\frac{Q_2}{A}=\frac{Q_2}{Q_1-Q_2}$

卡诺循环

以理想气体为工质的卡诺循环由4个准静态过程组成

1-2(等温过程):与温度为$T1$的高温热源接触，$T_1$不变，体积由$V_1$膨胀到$V_2$,从热源吸收的热量为

$T=T_1\\ pV=c\\ Q_1=\nu RT_1ln{\frac{V_2}{V_1}}$

2-3(绝热膨胀)：体积由$V_2$到$V_3$,吸热为0

$T_1V_2^{\gamma-1}=T_2V_3^{\gamma-1}$

3-4:与温度为$T_2$的低温物体接触，$T_2$不变，体积由$V_3$压缩到$V_4$,对热源放热为

$Q_2=\nu RT_2ln{\frac{V_3}{V_4}}$

4-1:绝热压缩，体积由$V_4$变到$V_1$,吸热为0

$T_1V_1^{\gamma -1}=T_2V_4^{\gamma-1}$

卡诺热机的效率

$\eta = 1-\frac{T_2}{T_1}$

卡诺制冷机的制冷系数

$\eta'=\frac{Q_2}{A}=\frac{Q_2}{Q_1-Q_2}=\frac{T_2}{T_1-T_2}$

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