多重积分 - Maksymilan's Notebook

多重积分的计算和一些性质的证明算是微积分下册里面我觉得对我来说比较有难度的地方，在这里一边做作业一边对作业题做一些总结

多重积分性质的证明

例题一

证明

$[\int_a^b{f(x)}dx]^2\leq (b-a)\int_a^bf^2(x)dx$

解

我们在这里利用积分形式的柯西-施瓦茨不等式（如下）

$[\int_a^bf(x)g(x)dx]^2\leq(\int_a^bf^2(x)dx)(\int_a^bg^2(x)dx)$

将$g(x)=1$带入,即可得证。

柯西-施瓦茨不等式的证明：

定义函数$F(t)$

$F(t)=\int_a^b(tf(x)-g(x))^2dx$

将$F(t)$平方展开可得

$F(t)=t^2\int_a^bf^2(x)dx-2t\int_a^bf(x)g(x)dx+\int_a^bg^2(x)dx$

令

$A=\int_a^bf^2(x)dx,B=-2\int_a^bf(x)g(x)dx,C=\int_a^bg^2(x)dx$

由于$F(t)\geq 0$恒成立，所以$B^2-4AC\geq0$,所以

$[\int_a^bf(x)g(x)dx]^2\leq(\int_a^bf^2(x)dx)(\int_a^bg^2(x)dx)$

例题二

在$f(x)>0$的情况下，证明

$\int_a^bf(x)dx\int_a^b\frac{dx}{f(x)}\geq (b-a)^2$

解

这道题同样利用柯西-施瓦茨不等式

$(a-b)^2\leq\int_a^b\frac{1}{\sqrt{f(x)}}·\sqrt{f(x)}dx\leq\int_a^b\frac{1}{f(x)}dx\int_a^bf(x)dx$

得证。

改变多重积分的积分顺序

例题一

改变下面这个积分的积分顺序

$\int_a^bdx\int_{\sqrt{2ax-x^2}}^{\sqrt{2ax}}f(x,y)dy(a>0)$

解题过程比较固定

题目过程复杂，但思维难度不高，就不在这里写具体过程了